De - Noise

In principio c’era Fourier

Non si sottolineerà mai abbastanza l’importanza della trasformata di Fourier. Ciò nonostante essa presenta, ai nostri occhi di oggi, un difetto notevole: individua male transitori rapidi in segnali a larga banda, a causa della sua uniforme "gestione" dell’indeterminazione tempo-frequenza. La cella tempo-frequenza è fissa (e di area unitaria): dunque scegliendo la risoluzione temporale di analisi, si fissa anche la risoluzione in frequenza.

Eventi rapidi vengono così "sparpagliati" in una cella temporale le cui dimensioni sono state scelte in funzione delle esigenze di risoluzione alle basse frequenze.

Trasformate multirisoluzione (Wavelet)

Dai tempi di Gabor quanto meno è in atto un incessante sforzo di ricerca, sia teorica che applicativa, per la messa a punto di nuove idee riguardo alle trasformazioni dei segnali. Prima, si sono introdotte forme d’onda diverse dalle sinusoidi. In questo modo, anche a basse scale temporali il segnale base già può contenere frequenze elevate. In questi casi, scalando il tempo, non si parla più di aumento di "frequenza", ma piuttosto di "dettaglio". L’analisi (e sintesi) a Wavelet si basa su un idea almeno apparentemente semplice: anziché tenere costante la risoluzione come nel caso della scomposizione di Fourier o Gabor, adottare una risoluzione temporale crescente con il dettaglio di analisi. In questo modo la finestra tempo-dettaglio si adatta meglio alle caratteristiche del segnale che si vuole analizzare: Alta risoluzione di dettaglio e bassa nel tempo, alle scale temporali lunghe, a alta risoluzione temporale, e bassa in dettaglio alle scale di tempo brevi.

In questo modo, si ottengono molti vantaggi: oltre alla migliore individuazione temporale di transitori rapidi, si "economizza" sul numero di bande necessarie a descrivere un segnale, e si risparmia quindi sia in tempo di calcolo che in quantità di informazione.

Compressione dei segnali (e delle immagini)

Da qui nasce la fondamentale idea dell’uso delle trasformate Wavelet per la compressione dei segnali. Se la forma dei segnali base (wavelets) "rispecchia" bene le caratteristiche del segnale da analizzare, basteranno poche bande di dettaglio per descriverlo. Adottando uno schema analisi-resintesi a ricostruzione perfetta, si possono trasmettere i coefficienti dello sviluppo Wavelet anziché il segnale, risintetizzandolo dal lato ricevente, e realizzando in questo modo un notevole risparmio nella banda passante.

De-noise

Non senza qualche difficoltà, si può agire in modo non lineare (e tempo-variante) sui coefficienti dello sviluppo in Wavelet prima della resintesi, per riequalizzare il segnale e/o migliorarne il rapporto segnale/rumore. Il metodo è interessante proprio grazie alla estrema efficienza di calcolo degli algoritmi Wavelet.